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MULTIPLICACION DE VECTORES

Multiplicacion de Vectores (producto punto)

Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados.  Pues hay dos tipos de multiplicacion:

Producto Escalar o producto punto:
A.B

Producto vectorial o producto cruz:
AxB

Tres vectores, A, B, C pueden resultar en
Triple producto escalar:
A.(BxC)

O triple producto vectorial:
Ax(BxC)

PRODUCTO PUNTO:
El producto punto de dos vectores A y B escrito como A.B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A.B=AB cos t
en donde t es el angulo menor que existe entre AyB
si A=(Ax,Ay,Az)    y     B=(Bx,By,Bz)

entonces:
A.B=AxBx+AyBy+AzBz

es decir se obtiene multiplicando A y B componente a componente.
Si el producto punto es cero, los vecotes A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)


LEYES DEL PRODUCTO PUNTO:
El producto punto obedece las siguientes leyes:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)

Ejemplos:

Los vectores A(2,4,1)  y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:

A.B= 2x5+4x3+1x8=10+12+8=30

el Vector A multiplicado por la constante k=3:

kA=3(2,4,1)=(6,12,3)

SUMA DE VECTORES EN 2D - METODO DEL POLIGONO
Cuando vamos a sumar más de dos vectores , podemos sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final.
Otra forma de hacer la suma , es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígno resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.
Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.

Figura 1

En la siguiente simulación , observarás la suma de varios vectores mediante el método del polígono. Podrás variar la magnitud (módulo) y la dirección de los vectores. Lee bien las siguientes instrucciones.
Instrucciones breves

• Con este applet puedes sumar hasta cuatro vectores.
• En los respectivos campos de texto puedes introducir los valores de las magnitudes y de las direcciones (ángulos medidos respecto al eje positivo de las x) de cada vector. Estos valores sólo se pueden cambiar cuando el botón tenga la etiqueta Entre.Si algún campo de texto está vacío o tiene un caracter diferente de un punto o un número, el ejercicio no avanzará.
• Haciendo click en el botón Entre se validan estos valores. En este momento el botón muta a un botón con la etiqueta Translade el Vector B..
• Haciendo click en el botón Translade el Vector B ,se translada este vector hacia la "cabeza" del vector A. También cambia la etiqueta del botón a Translade el Vector C.
• Se continúa repitiendo el paso anterior hasta transladar el vector D. En este momento el botón muta a un botón con la etiqueta Sume.
• Haciendo click en el botón Sume aparece el vector resultante de la suma. En este momento el botón muta a un botón con la etiqueta Entre para iniciar un nuevo ejercicio.
• En cada momento del proceso aparece en el tablero inferior izquierdo los valores de las cantidades involucradas.